കാല്‍ക്കുലസും കേരളവും: ആരുടെ വിമര്‍ശനമാണ് ചരിത്രവിരുദ്ധമാകുന്നത്
'കാല്‍ക്കുലസ് കേരള ഗണിതജ്ഞര്‍ കണ്ടുപിടിച്ചതോ' എന്ന പേരില്‍ ഞാന്‍ ഭാഷാപോഷിണി (ഒക്‌ടോബര്‍ 2024)യില്‍ ഒരു ലേഖനമെഴുതിയിരുന്നു. 'കാല്‍ക്കുലസും കേരളവും വിമര്‍ശനം ചരിത്രവിരുദ്ധമാകുമ്പോള്‍' എന്ന പേരില്‍ വി. വിജയകുമാര്‍ 'ദ ഫോര്‍ത്തി'ല്‍ (31 ഒക്‌ടോ, 2024) എഴുതുന്നു:
''കാല്‍ക്കുലസിന്റെ ഭാഗമായ അനന്തശ്രേണികളെ ഇതര രൂപങ്ങളില്‍ അവരുടേതായ ജ്യാമതീയ രീതിയില്‍ ഉല്പാദിപ്പിക്കാന്‍ കേരള ഗണിത വിദ്യാപീഠത്തിനു കഴിഞ്ഞിരുന്നു'' എന്ന വസ്തുത രഘു വിസ്മരിക്കുന്നു എന്നതാണ് ഒന്നാമത്തെ വിമര്‍ശനം. ഇത് സമര്‍ത്ഥിക്കാനായി താണു പത്മനാഭനെ ഉദ്ധരിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. ആധുനിക ഗണിതത്തിലെ ഫലങ്ങള്‍ക്കു സദൃശമായ ഫലങ്ങള്‍ യുക്തിഭാഷ നല്‍കുന്നുവെന്ന് വിശദീകരിക്കേണ്ടത് താണു പത്മനാഭനല്ല, യുക്തി ഭാഷ എഴുതിയ ജ്യേഷ്ഠദേവന് തന്നെയാണ്. ഒരു ഫലം എങ്ങനെ കണ്ടെത്തി, അതിന്റെ പ്രൂഫ് എന്ത്, തുടങ്ങിയവ മാത്തമാറ്റിക്കല്‍ ഭാഷയില്‍ വിശദീകരിക്കുമ്പോള്‍ മാത്രമെ, ഫലത്തെക്കുറിച്ചുള്ള പ്രസ്താവന മാത്തമാറ്റിക്കല്‍ പ്രസ്താവനയാവുകയുള്ളു. അല്ലാത്തപക്ഷം വെറുമൊരു ഗദ്യവാചകം മാത്രം.
യുക്തിഭാഷയില്‍, ജ്യേഷ്ഠദേവന് ജ്യാമതീയരീതിയാണുപയോഗിച്ചത് എന്ന വാദത്തില്‍ എത്രത്തോളം ശരിയുണ്ടെന്ന് സൂക്ഷ്മമായി പരിശോധിക്കേണ്ടതാണ്. അനന്തശ്രേണിയുമായോ കാല്‍ക്കുലസുമായോ ബന്ധമില്ലാത്ത ക്രിയകള്‍ ചെയ്യുമ്പോള്‍, തികച്ചും ആകസ്മികവും അനിച്ഛാപൂര്‍വവുമായ ഫലങ്ങളിലെത്താം. 'മാത്തമാറ്റിക്കല്‍ സങ്കല്പങ്ങള്‍ തികച്ചും അപ്രതീക്ഷിതമായ ദിശകളിലേക്ക് മാറാ'മെന്ന് യൂജിന്‍ വിഗ്നര്‍ എഴുതുന്നു. 1. ഇത് പക്ഷെ, മാത്തമാറ്റീഷ്യന്റെ കഴിവല്ല. മാത്തമാറ്റിക്‌സില്‍ അന്തര്‍ലീനമായ ഒരു സാധ്യതയാണ്. ജീനിയസുകളായ മാത്തമാറ്റീഷ്യന്‍സിന്റെയും ഫിസിസിസ്റ്റുകളുടെയും കാര്യത്തില്‍ ഇത് സംഭവിച്ചിട്ടുണ്ട്. ആന്‍ഡ്രു വൈല്‍സ് (Andrew Wiles) 'സംഖ്യാസിദ്ധാന്ത' (Number Theory)-ത്തില്‍ പ്രവര്‍ത്തിക്കുമ്പോള്‍, യാദൃശ്ചികമായി എലിപ്റ്റിക് വക്രവുമായുള്ള ബന്ധത്തിലെത്തിപ്പെട്ടു. മൗലികതയുള്ള ഒരു മാത്തമാറ്റീഷ്യന്‍, ഈ അപ്രതീക്ഷിത ഫലം മനസിലാക്കുകയും അതിനുള്ള പ്രൂഫ് ആവിഷ്‌കരിക്കുകയും ചെയ്യും. എങ്കില്‍, ആ ഫലം അയാളുടെ സൃഷ്ടിയായി അംഗീകരിക്കപ്പെടും. ആന്‍ഡ്രു വൈല്‍സിനു അത് കഴിഞ്ഞിരുന്നു. അതുകൊണ്ടാണ്, 'ഫെര്‍മയുടെ ലാസ്റ്റ് തിയറ'ത്തിനുള്ള പ്രൂഫ് കണ്ടെത്താന്‍ അദ്ദേഹത്തിനു സാധിച്ചത്. ക്വാണ്ടം മെക്കാനിക്‌സിന്റെ മേഖലയില്‍ ഗവേഷണനിരതനായിരുന്ന പോള്‍ ദിറാക്, ആകസ്മികമായാണ് 'antimatter ' എന്ന ആശയത്തിലെത്തിയത്.
'അമൂര്‍ത്ത ബീജഗണിത' ക്രിയകള്‍ ചെയ്തുകൊണ്ടിരുന്നപ്പോള്‍, എമി നോയ്ഥ (Emmey Noether), 'സിമട്രി'യും ഫിസിക്‌സിലെ 'കണ്‍സര്‍വേഷന്‍ നിയമങ്ങളും' തമ്മിലുള്ള ബന്ധത്തിലെത്തിയതും അപ്രതീക്ഷിതമായിട്ടായിരുന്നു. ത്രികോണമിതിശ്രേണിയില്‍ വ്യാപൃതനായിരുന്ന ഗെയോഗ് കാന്റോവ (Georg Cantor) യാദൃശ്ചികമായിട്ടാണ് 'ഗണസിദ്ധാന്ത' (set theory)ത്തിലെത്തിയത്. തുടര്‍ന്ന്, അദ്ദേഹം ഗണസിദ്ധാന്തത്തെ ഒരു സ്വതന്ത്രശാഖയായി വികസിപ്പിച്ചു. സമകാല ലോകത്തിലെ ഏറ്റവും വലിയ മാത്തമാറ്റിക്കല്‍ ജീനിയസായ ഗ്രിഗറി പെരല്‍മാന്‍(Gregori Perelman), 'Geometrization Conjecture'-ലെത്തിയതും യാദൃശ്ചികമായിട്ടാണ്. പക്ഷെ ഈ ആകസ്മിക ഫലങ്ങളെ അവര്‍ മനസിലാക്കുകയും പ്രൂഫിന്റെ ബലത്തില്‍ അത് കൂടുതല്‍ വികസിപ്പിക്കുകയും ചെയ്യുകയാണുണ്ടായത്.
തന്റെ ഫലങ്ങള്‍ അനന്തശ്രേണിയെ ഉല്പാദിപ്പിച്ചുവെന്ന് ജ്യേഷ്ഠദേവന് മനസിലാക്കിയിരുന്നോ? മനസിലാക്കിയിരുന്നെങ്കില്‍ അടുത്തത്, പ്രൂഫുകള്‍ നിരത്തിക്കൊണ്ട് അത് വിശദീകരിക്കുകയാണ്. ഇതിനു രണ്ടിനും യാതൊരു തെളിവുമില്ല. അനന്ത ശ്രേണിയുമായി ആകസ്മികമായുണ്ടായ സാദൃശ്യം ജ്യേഷ്ഠദേവന്റെ കാര്യത്തില്‍ അങ്ങനെ തന്നെ അവശേഷിക്കുകയാണുണ്ടായത്. അതിനാല്‍ ചില ഫലങ്ങളുടെ അനന്തശ്രേണി സാദൃശ്യത്തിന്റെ ക്രെഡിറ്റ് അവകാശപ്പെടാന്‍ ജ്യേഷ്ഠദേവന് യാതൊരര്‍ഹതയുമില്ല.
ജ്യേഷ്ഠദേവന് ജ്യാമതീയ രീതി ഉപയോഗിച്ചിരുന്നോ? 'ഭൂമി' എന്നര്‍ത്ഥം വരുന്ന ഗ്രീക്കുപദമായ 'ge'--യെയും 'അളവി'നെ സൂചിപ്പിക്കുന്ന 'metron'നെയും സമന്വയിപ്പിച്ചുകൊണ്ട് ബി.സി. 300-ല്‍ യൂക്ലിഡ് ആണ് 'Geometry' എന്ന സംജ്ഞ ആവിഷ്‌കരിച്ചത്. എന്നാല്‍, ത്രികോണം, ചതുരം, സമചതുരം, ദീര്‍ഘചതുരം, വൃത്തം തുടങ്ങിയ ജ്യാമിതീയ രൂപങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള ആശയങ്ങള്‍ യൂക്ലിഡിനും എത്രയോ നൂറ്റാണ്ടുകള്‍ക്കു മുമ്പു തന്നെ പ്രചാരത്തിലുണ്ടായിരുന്നു. മെസപ്പൊട്ടോമിയന്‍, ഈജിപ്ഷ്യന്‍, ഹാരപ്പന്‍, ചൈനീസ്, ഗ്രീക്ക്, മയന്‍ നാഗരികതകളില്‍, വാസ്തുശില്പം, കല, കളിമണ്‍ പാത്രം, ഭൂ അളവ്, പിരമിഡ്, ആരാധനാലയം എന്നിവയുടെ നിര്‍മാണ പ്രക്രിയയില്‍ ജ്യാമിതീയ രൂപങ്ങള്‍ ഉപയോഗിച്ചിരുന്നു ''The Babylonian Mathematical Texts'' (B.C. 1800),''The Rhind Papyrus'' (ആ.ഇ. 1600). ''The Phythagorean Elements'' (ആ.ഇ. 500) തുടങ്ങിയ കൃതികളില്‍ ഇതേക്കുറിച്ച് ചര്‍ച്ച ചെയ്യുന്നു. ഇവയെല്ലാം ക്രോഡീകരിക്കുകയും യുക്തിഭദ്രവും സുഘടിതവും ലക്ഷണയുക്തവുമായ ''Elements'' എന്ന കൃതി രചിച്ചത് യൂക്ലിഡ് ആണെന്നു മാത്രമെയുള്ളു. അതോടെ 'geomentry'--യെന്ന പുതിയൊരു ശാഖ നിലവില്‍ വന്നു.
ജ്യാമതീയ രൂപങ്ങളെക്കുറിച്ച് ചര്‍ച്ച ചെയ്തിരുന്നു എന്ന കാരണത്താല്‍ പൈഥഗോറസിനെയോ, പ്ലേറ്റോയെയോ, 'ജ്യോമെട്രീഷ്യന്‍സ്' എന്നോ, അവരുടെ രീതിയെ 'ജ്യോമെട്രിക്കല്‍' എന്നോ മാത്തമാറ്റിക്‌സ് ചരിത്രം വിശേഷിപ്പിക്കുന്നില്ല. ബാബിലോണിയന്‍ കൃതികളിലും പാപ്പിരസിലും ജ്യാമിതീയ രൂപങ്ങള്‍ ചിത്രീകരിച്ചിട്ടുമുണ്ട്. അവയെയും ജ്യാമിതീയമെന്ന് ആരും പറയാറില്ല. യുക്തിഭാഷയില്‍ ത്രികോണം, ചതുരശ്രം, സമചതുരം എന്നൊക്കെ പറയുന്നതല്ലാതെ ഒരൊറ്റ രൂപം പോലും വരച്ചിട്ടില്ല. 'പരിലേഖനങ്ങളുടെ അറ്റകുറ്റങ്ങള്‍ തീര്‍ത്ത് അവയെ വരച്ചുണ്ടാക്കി'യത് ശ്രീമാന്‍ ടി.വി. വേദമൂര്‍ത്തി അയ്യരാണെന്ന് യുക്തിഭാഷയുടെ ഉപോല്‍ഘാതത്തില്‍ (P.IV) പറഞ്ഞിട്ടുണ്ട്.2.
ജ്യാമതീയ രൂപങ്ങളെക്കുറിച്ച് ചര്‍ച്ച ചെയ്തിരുന്നു എന്ന കാരണത്താല്‍ പൈഥഗോറസിനെയോ, പ്ലേറ്റോയെയോ, 'ജ്യോമെട്രീഷ്യന്‍സ്' എന്നോ, അവരുടെ രീതിയെ 'ജ്യോമെട്രിക്കല്‍' എന്നോ മാത്തമാറ്റിക്‌സ് ചരിത്രം വിശേഷിപ്പിക്കുന്നില്ല
ഇന്നു ലഭ്യമായ യുക്തിഭാഷ മിക്കവാറും ശ്രീരാമവര്‍മത്തമ്പുരാന്‍, ബ്രഹ്‌മശ്രീ എ.ആര്‍. അഖിലേശ്വരയ്യര്‍, പണ്ഡിതന്‍ പി. ശ്രീധരമേനോന്‍ എന്നിവര്‍ ചേര്‍ന്ന് പരിഷ്‌കരിച്ച പാഠമാണ്. 1950-ല്‍ തൃശൂരിലെ മംഗളോദയം പ്രസ് അച്ചടിച്ചത് ഈ പാഠമാണ്. അതിനാല്‍, ജ്യേഷ്ഠദേവന്റെ സ്വന്തം രചനയേത്, പരിഷ്‌കര്‍ത്താക്കളുടെ കൂട്ടിച്ചേര്‍ക്കലുകള്‍ ഏത് എന്ന് കണ്ടെത്തുക വളരെ പ്രയാസമാണ്. അതിനാല്‍, നിലവിലുള്ള യുക്തിഭാഷ ഒരു മൗലികകൃതിയാണെന്നു പറയാനാവില്ല. കേരള ഗണിജ്ഞര്‍ നിഷ്‌കൃഷ്ഠമായ അര്‍ത്ഥത്തില്‍ മാത്തമാറ്റീഷ്യന്‍സ് ആയിരുന്നില്ല. ഇവര്‍ ''ജൗതിഷിക കുടുംബങ്ങളില്‍'' പെട്ടവരാണെന്ന് അവതാരിക പറയുന്നു (ജ.6). ദൃഗ്ഗണിതം രൂപപ്പെടുത്തിയത് ''മുഹൂര്‍ത്താദികള്‍ക്ക്'' വേണ്ടിയാണെന്ന് അവതാരികയിലുണ്ട് (P.4). ദൃഗ്ഗണിതത്തിന്റെ സാക്ഷാല്‍ കൈയെഴുത്തു പ്രതി ലഭിച്ചിട്ടില്ല. നീലകണ്ഠസോമയാജി പരിഷ്‌കരിച്ചതെന്ന് കരുതപ്പെടുന്ന 'തന്ത്രസംഗ്രഹ'മാണ് ലഭിച്ചിട്ടുള്ളത്. അതിന്റെ വ്യാഖ്യാനമാണ് യുക്തിഭാഷ.
ജ്യാമിതീയ രീതി അടങ്ങിയിട്ടുണ്ടെന്ന് വി. വിജയകുമാര്‍ പറയുന്ന പ്രസ്താവനകള്‍ പരിശോധിക്കാം. അഞ്ചാമദ്ധ്യായമായ 'അഹര്‍ഗ്ഗണായന'ത്തില്‍, ''... അവിടെ ഇച്ഛാഫലത്തെ പ്രമാണം കൊണ്ടു ഗുണിച്ചതും പ്രമാണഫലത്തെ ഇച്ഛകൊണ്ടു ഗുണിച്ചതും തുല്യസംഖ്യയായിട്ടിരിക്കും...'' ഇച്ഛാഫലം എത്ര. പ്രമാണമെത്ര. ഗുണിച്ചതെങ്ങനെ, ഫലമായ തുല്യസംഖ്യ എത്ര എന്ന് എങ്ങനെയാണ് അറിയുന്നത്. ഒരു പക്ഷെ, ഈ സംഖ്യകകള്‍ ജ്യേഷ്ഠദേവന്റെ മനസിലുണ്ടായിരിക്കും. വായനക്കാര്‍ക്ക് അറിയാനാവില്ലല്ലോ. ഇത് 'അകക്കണ്‍വാദ'മാണ്. ഇതിനെക്കുറിച്ച് 20-ാം നൂറ്റാണ്ടിലെ ഏറ്റവും വലിയ മാത്തമറ്റീഷ്യനായ ഡേവിഡ് ഹില്‍ബര്‍ട്ട് പറയുന്നത് നോക്കുക: ''അകക്കണ്‍ വാദം മാത്തമാറ്റിക്‌സിനെ കീറിമുറിക്കുകയും വികൃതമാക്കുകയും ചെയ്യും''3 അകക്കണ്‍ വാദികള്‍, 'ആര്‍ഷഭാരത'ത്തില്‍ അറിയപ്പെട്ടിരുന്നത് 'ഋഷി' എന്നായിരുന്നു. അതിനാല്‍, ജ്യേഷ്ഠദേവനെ ഋഷി എന്നു വിശേഷിപ്പിക്കുന്നതാണ് ഉചിതം. ഋഷിയുടെ അകക്കണ്ണില്‍ തെളിയാത്തതൊന്നുമില്ല. ചിന്ത, ഭാവന, നിരീക്ഷണം, പരീക്ഷണം എന്നിവയുടെയൊന്നും ഭാരം പേറുന്നവരല്ല ഋഷിമാര്‍. അതൊക്കെ, ന്യൂട്ടന്, ഡാര്‍വിന്‍, ഐന്‍സ്റ്റൈന്‍ തുടങ്ങിയ സാധാരണ നശ്വരര്‍ ചെയ്യേണ്ട കാര്യങ്ങളാണ്. ഇങ്ങനെയുള്ള പ്രസ്താവനകള്‍ 'ജ്യാമതിയല്ല, പ്രാഥമിക അങ്കഗണിതം പോലുമല്ല. തുടര്‍ന്ന് എഴുതുന്നു: ''പ്രമാണഫലത്തെക്കൊണ്ടു ഹരിച്ചിട്ട് ഇച്ഛേ വരുത്തുന്നേടത്തേയ്ക്ക് ഇച്ഛാഫലാവയത്തെക്കൊണ്ടുകൂടി ഗുണിക്കില്‍ ശേഷമുണ്ടായിരിക്കുകയില്ല...'' ഫലത്തില്‍ ശേഷമുണ്ടായിരിക്കുമോ ഇല്ലയോ എന്നു തെളിയിക്കാന്‍ ഈ പറഞ്ഞ സംഖ്യകകള്‍ അക്കങ്ങളില്‍ എഴുതി ഗുണിച്ചുകാണിക്കുകയാണ് വേണ്ടത്. അല്ലാതെയുള്ളത് വെറും ജാലവിദ്യയാണ്. അഞ്ചാമദ്ധ്യായത്തില്‍ തന്നെ, ''ഇവിടെ കോടി തുല്യമായിട്ട് ഒരു സമചതുരശ്രമുണ്ടാക്കൂ, ഭൂജൃാതുല്യമായിട്ടും. ഇങ്ങനെ രണ്ടു സമചതുര ക്ഷേത്രങ്ങളെ ഉണ്ടാക്കൂ''. പിന്നെ കുറെ ക്രിയകള്‍ നിര്‍ദ്ദേശിച്ചതിനുശേഷം, ''എന്നാലത് ഒരു സമചതുരശ്രക്ഷേത്രമായിട്ടിരിക്കും.... '' എന്ന് പ്രവചിക്കുന്നു. ഇത് ജ്യാമിതീയമായി തെളിയിക്കണമെങ്കില്‍ ക്രിയകളെല്ലാം വരച്ചുകാണിക്കണം. പക്ഷെ, തന്റെ സാങ്കല്പിക വായനക്കാര്‍ വേണമെങ്കില്‍ ഇതൊക്കെ ചെയ്‌തോ എന്നുപദേശിക്കുകയാണ് ജ്യേഷ്ഠദേവന്. ഇത് ഏതു മാനദണ്ഡമനുസരിച്ച് നോക്കിയാലും ജ്യാമിതീയരീതിയല്ല.
ആറാമദ്ധ്യായത്തിലെ 'പരിധിവ്യാസപ്രകരണം' ഇതിലും വിചിത്രമാണ്. ''പിന്നെ സമചതുര ക്ഷേത്രത്തിങ്കല്‍ താന്‍ ദീര്‍ഘചതുരശ്രക്ഷേത്രത്തിങ്കല്‍ താന്‍ ഒരു കോണിങ്കന്നു ക്ഷേത്രത്തിന്റെ നടുവേ മറ്റെ കോണിങ്കല്‍ ചെല്ലുന്ന സൂത്രം കര്‍ണ്ണമാകുന്നത്. ഇവിടെ ഒരു ചതുരശ്രത്തിനു രണ്ടു പാര്‍ശ്വവും കോടി തുല്യമായി നീണ്ടിരിപ്പൂ, രണ്ടു തലയും ഭൂജാതുല്യമായി ഇടം കുറഞ്ഞിരിപ്പൂ. ഇങ്ങനെ ഇവിടെ കല്പിക്കുന്നു. ഈ ക്ഷേത്രത്തിന്റെ കര്‍ണ്ണമെത്ര എന്ന് അറിയുന്നത്'' (P. 55). ഈ പ്രസ്താവനയെ ഒരു ജ്യാമതീയ പ്രസ്താവനയെന്നു പറയണമെങ്കില്‍, വരച്ചു തെളിയിക്കണം. അല്ലാത്തിടത്തോളം സാരോപദേശ പ്രസ്താവന മാത്രം!
ഒരു വിജ്ഞാനശാഖയെ 'ജ്യാമിതീയം' എന്നു നിര്‍വചിക്കുന്നതിന് ചില കര്‍ശനമാനദണ്ഡങ്ങളുണ്ട്. നിര്‍വചനങ്ങള്‍ (definitions), സ്വതസിദ്ധപ്രമാണങ്ങള്‍ (axioms/postulates), തിയറം, പ്രൂഫ് (proof) എന്നിവയുടെ അടിസ്ഥാനത്തില്‍ അവതരിപ്പിക്കുമ്പോള്‍ മാത്രമെ ഒരു അറിവ് മാത്തമാറ്റിക്‌സും ജ്യാമിതീയവുമാകൂ. ഈ 4 കാര്യങ്ങള്‍ സമന്വയിക്കാത്ത ഗണിതത്തെ നാട്ടുഗണിതം/ ബാലഗണിതം എന്നു പറയാം. അനുഷ്ഠാനം, മുഹൂര്‍ത്ത നിര്‍ണയം, പഞ്ചാംഗം, ജ്യോതിഷം, കവിടിനിരത്തല്‍ തുടങ്ങിയവയ്ക്കുവേണ്ടി രൂപപ്പെടുത്തിയ കേരളഗണിതം ജ്യാമിതിയുടെ പോയിട്ട് പ്രാഥമിക മാത്തമാറ്റിക്‌സിന്റെ പോലും നിര്‍വചന പരിധിയില്‍ വരുന്നില്ല. ജ്യേഷ്ഠദേവന് ജ്യാമിതീയ രീതി ഉപയോഗിച്ചു എന്നതിന് 'യുക്തിഭാഷ'യില്‍ ഒരു തെളിവുമില്ല.
ഇന്ത്യയിലെയും കേരളത്തിലെയും ഗണിതജ്ഞര്‍ ചില സന്ദര്‍ഭങ്ങളില്‍ ശരിയായ കണക്കുകൂട്ടലുകള്‍ നടത്തിയിരുന്നു എന്നതൊരു വസ്തുതയാണ്. എന്നാല്‍ എങ്ങനെ കണക്കാക്കി, മാര്‍ഗങ്ങള്‍ എന്ത്, ഫലങ്ങളുടെ പ്രൂവ് എന്ത് എന്നതൊന്നും അവര്‍ വിശദീകരിച്ചിട്ടില്ല. കിട്ടിയ ഫലത്തില്‍ അവര്‍ തൃപ്തരായിരുന്നു. മാത്തമാറ്റിക്‌സിനെ വസ്തുനിഷ്ഠവും സൂക്ഷ്മവുമാക്കുന്നത് പ്രൂഫ് ആണ്. ഇന്ത്യന്‍ - കേരള ഗണിതജ്ഞര്‍ ആരും തന്നെ പ്രൂഫിനെക്കുറിച്ച് ചിന്തിച്ചിട്ടേയില്ല. അവരുപയോഗിച്ചത് 'ഉപപത്തി' എന്നൊരു സമ്പ്രദായമാണ്. ഏതെങ്കിലുമൊരു പ്രാമാണിക കൃതിയിലെ ഒരുദ്ധരണി ചൂണ്ടി തങ്ങളുടെ ക്രിയകളെ ഡെമോണ്‍സ്‌ട്രേറ്റ് ചെയ്യുന്ന രീതിയാണ് ഉപപത്തി. മാത്തമാറ്റിക്കന്‍ ഫിസിസിസ്റ്റ് ആയ Mark Kac പറയുന്നു: 'A demonstration is a way to convince a reasonable man and a proof is a way to convince a stubborn man'.4 ഇന്ത്യന്‍ - കേരള ഗണിതത്തില്‍ ഫൂഫ് ഇല്ലെന്ന വിമര്‍ശനത്തെ ആധുനികകാലത്ത് നേരിട്ടത് 'ഉപപത്തി' ചൂണ്ടിക്കാണിച്ചുകൊണ്ടാണ്. 'ബുദ്ധിവിലാസിനി'യുടെ മുഖവരയില്‍, ഗണേശന്‍ ഉപപത്തി എന്താണെന്നു പറയുന്നു; ''കൈയിലെ കണ്ണാടിയിലെന്നവണ്ണം നേരിട്ട് കാണുന്നതാണ് ഉപപത്തി''.5 അപ്പോള്‍, ഉപപത്തി യുക്ത്യധിഷ്ഠിതമല്ല. അനുഭവനിഷ്ഠവും അകക്കണ്‍ കാഴ്ചയുമാണ്. ദീര്‍ഘകാലത്തെ വാനനിരീക്ഷണാനുഭവമാണ് ഉപപത്തി'യെന്ന് ഭാസ്‌കരാചാര്യര്‍ പറയുന്നു6.
ഇന്ത്യയുടെ ജ്ഞാനസിദ്ധാന്തമനുസരിച്ച്, പ്രത്യക്ഷം (perception), അനുമാനം (inference), പാരമ്പര്യം (വേദമൂലത്വം) എന്നിവയാണ് ജ്ഞാനത്തിന്റെ പ്രമാണങ്ങള്‍. പ്രത്യക്ഷത്തിലൂടെയും അനുമാനത്തിലൂടെയും ലഭിക്കുന്ന അറിവിന്റെ ശരിതെറ്റുകള്‍ നിര്‍ണയിക്കുന്ന ആത്യന്തിക പ്രമാണം വേദമാണ്. പ്രത്യക്ഷവും അനുമാനവും മനുഷ്യ സവിശേഷമല്ല. അത് ജന്തുക്കള്‍ക്കുമുണ്ട്. ജന്തുക്കള്‍ക്കില്ലാത്തത് വേദമാണ്. ചുരുക്കത്തില്‍, ജന്തുസഹജമായ പ്രത്യക്ഷാനുമാനങ്ങള്‍ വേദാനുസാരിയാണോയെന്നു പരിശോധിക്കുന്ന ഒരു ജ്ഞാന സിദ്ധാന്തമാണ് ബ്രാഹ്‌മണര്‍ വികസിപ്പിച്ചത്.
ജ്യേഷ്ഠദേവന് തന്റെ വാദങ്ങള്‍ക്കുള്ള ഉപപത്തിയായി ആര്യഭടീയത്തിലെയും ലീലാവതിയിലെയും ചില ശ്ലോകങ്ങള്‍ ഉദ്ധരിക്കുന്നുണ്ട്. പ്രാമാണിക ഗ്രന്ഥങ്ങളില്‍ പറഞ്ഞിരിക്കുന്നതാണ്, തന്റെ വാദം തെളിയിക്കുന്നതിനുള്ള ന്യായം! ഏഴാമദ്ധ്യായത്തില്‍, ''അനന്തരം രണ്ടു ജ്യാക്കളുടെ ഘാതത്തെ വ്യാസാര്‍ദ്ധം കൊണ്ടു ഹരിച്ചാല്‍ തച്ചാപയോഗജ്യാവുഭൂമി ആയിരിക്കുന്നേടത്തെ ലംബമുണ്ടാകും എന്നു ചൊല്ലിയതിന്റെ ഉപപത്തിയെ കാട്ടുന്നു, അനന്തപുരവൃത്തത്തിങ്കലെ സമസ്ത ജ്യാക്കളെക്കൊണ്ട്, ഇതിനുള്ള ഉപപത്തിയായി, ''സര്‍വ്വദോര്‍യ്യുതിദളഞ്ചതുഃസ്ഥിതം
ബാഹുഭിര്‍വ്വിരഹിതഞ്ചതദ്വധാല്‍!
മൂലമസ്ഫുടഫലം ചതുര്‍ഭൂജേസ്പഷ്ഠമേവ
മുദിതം ത്രീബാഹുകേ'' യെന്ന ലീലാവതീശ്ലോകമുദ്ധരിക്കുന്നു.
'മൂലമസ്ഫുടഫലം ചതുര്‍ഭുജേ''-യ്ക്കു പകരം
ജ്യേഷ്ഠദേവന്, 'മൂലമത്രനിയതശ്രുതൗഫലം'' എന്നാണുപയോഗിച്ചിരിക്കുന്നത്.
അതുപോലെ ''.... അര്‍ദ്ധജ്യാവിന്റെ വര്‍ഗ്ഗമായിരിക്കും'' എന്നതിന്റെ ഉപപത്തിയായി കൊടുത്തിരിക്കുന്നത്, ''വ്യാസാച്ഛരോനാച്ഛരസം ഗുണാച്ച
മൂലം ദ്വിനിഘ്‌നം ഭവതീഹജീവ'' എന്ന ലീലാവതീശ്ലോകമാണ്.
ഇതെല്ലാം അര്‍ത്ഥശങ്കയ്ക്കിടയില്ലാതെ വ്യക്തമാക്കുന്നത്, യുക്തിഭാഷയുടെ രീതി ജ്യാമതീയ രീതിയല്ലെന്നാണ്. തങ്ങളുടേതായ ജ്യാമതീയ രീതികളിലൂടെ കാല്‍ക്കുലസിന്റെ ഭാഗമായ ഫലത്തിലെത്തിയെന്ന വാദത്തിന് യുക്തിഭാഷയില്‍ യാതൊരു തെളിവുമില്ല. ''ഗണിതത്തില്‍, പലേവിധത്തില്‍ പരിണിത ഫലത്തിലെത്താന്‍ കഴിയു''-മെന്ന വിജയകുമാറിന്റെ വാദം, പക്ഷെ, യുക്തിഭാഷയുടെ കാര്യത്തില്‍ തകരുന്നു. കാരണം, യുക്തിഭാഷ, മൂര്‍ത്തവും കൃത്യവുമായ ഫലങ്ങളൊന്നും നിര്‍ധാരണം ചെയ്തിട്ടില്ല എന്നതാണ്. കേരള ഗണിതം യൂറോപ്പിലെത്തിയിരിക്കാനിടയുണ്ടെന്ന് ജോര്‍ജ് ഗീവര്‍ഗീസ് ജോസഫ് 'മയൂരശിഖ'യില്‍ സന്ദേഹിക്കുകമാത്രമാണ് ചെയ്യുന്നതെന്ന് വിജയകുമാര്‍ പറയുന്നു. പക്ഷെ നിര്‍ദോഷമായ ഒരു സന്ദേഹം മാത്രമല്ല തന്റേതെന്ന് ജോര്‍ജ്ജ് ഗീവര്‍ഗീസ് ജോസഫ് തന്നെ പറയുന്നു. ''Kerala Mathematics had a profound impact on European Mathematical development''
7. ഭാഷാപോഷിണി ലേഖനത്തില്‍ ഞാന്‍ ചര്‍ച്ചചെയ്തിട്ടില്ലാത്ത ചിലകാര്യങ്ങള്‍, എന്നിലാരോപിക്കുകയും തുടര്‍ന്ന് വിജയകുമാര്‍ അത് നിഷേധിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. കാല്‍ക്കുലസിന്റെ ആവിര്‍ഭാവത്തില്‍ കേരള ഗണിതത്തിന് എന്തെങ്കിലും സ്വാധീനമുണ്ടായിരുന്നോ എന്നതുമാത്രമാണ് എന്റെ ലേഖനത്തിന്റെ പ്രമേയം. ''ന്യൂട്ടാണിയന്‍ ഭൗതികത്തെക്കുറിച്ചുള്ള ചരിത്രവ്യാഖ്യാനങ്ങള്‍ ചരിത്ര വസ്തുതകള്‍ക്കു വിരുദ്ധമാണെ''ന്നു പറയുന്ന വിജയകുമാര്‍ എന്റെ ചരിത്രവ്യാഖ്യാനങ്ങള്‍ എന്നാണുദ്ദേശിക്കുന്നതെങ്കില്‍, ഞാന്‍ ഒരു വ്യാഖ്യാനവും നടത്തിയിട്ടില്ല. ''കാല്‍ക്കുലസ് ഉപയോഗിച്ചാണ്, ന്യൂട്ടന് തന്റെ ബലതന്ത്രം രൂപപ്പെടുത്തിയെന്ന് പറയുന്നത് ശരിയല്ലെ''ന്നും, ''യൂക്ലിഡിയന്‍ ജ്യാമിതിയുടെ സങ്കീര്‍ണ മാര്‍ഗങ്ങളാണ് പ്രിന്‍സിപ്പിയയിന്‍ ഉപയോഗിച്ചതെ''ന്നും വിജയകുമാര്‍ എഴുതുന്നു.
''ന്യൂട്ടെന് കാല്‍ക്കുലസ് മാര്‍ഗത്തിലൂടെ ചലന നിയമങ്ങളെ വിശദീകരിക്കാന്‍ അറിയുമായിരുന്നുവെന്ന ഗ്രഹാം ഫാമെലോ (The Universe speaks in Numbers)-യുടെ വാദത്തെ വിജയകുമാര്‍ നിരാകരിക്കുന്നു. ''അത് ശരിയാണെന്ന് ഉറപ്പിക്കാന്‍ കഴിയുന്ന എന്തെങ്കിലും പുസ്തകങ്ങള്‍ ന്യൂട്ടന് രചിച്ചിട്ടില്ലെ''ന്ന് വിജയകുമാര്‍ നിസ്സന്ദേഹം എഴുതുന്നു. ന്യൂട്ടനെക്കുറിച്ച് പാഠപുസ്തകധാരണയെങ്കിലുമുള്ളവരെ അമ്പരപ്പിക്കുന്നതാണ് ഈ പ്രസ്താവന.
പ്രിന്‍സിപ്പിയ മാത്തമാറ്റിക്ക പ്രസിദ്ധീകരിച്ചത് 1687-ലാണ്. അതിനു 18 വര്‍ഷങ്ങള്‍ക്കു മുമ്പു തന്നെ കാല്‍ക്കുലസിനെക്കുറിച്ചു മാത്രം 2 പുസ്തകങ്ങളാണ് ന്യൂട്ടന് രചിച്ചത്.
1. De Analysi per Aequationes Numero Terminorum Infinitas (166971). (On Analysis by infinite series or Treatise on Quadrature by Infinite Series.)
2. De Methodis Serierum et Fluxionum (1671) (On the Methods of series and fluxions)
പക്ഷെ ഈ കൃതികള്‍ പ്രസിദ്ധീകരിച്ചത് യഥാക്രമം 1736ലും 1711-ലുമാണ്. അതുകൊണ്ടാണ്, പ്രിന്‍സിപ്പിയ രചിക്കുമ്പോള്‍ ന്യൂട്ടന് കാല്‍ക്കുലസ് അറിയില്ലായിരുന്നുവെന്ന ഭീമായ തെറ്റിദ്ധാരണ പരന്നത്. ബര്‍ണൗലിയും ഔലറും ഉള്‍പ്പെടെയുള്ള മാത്തമാറ്റീഷന്‍സ് പ്രിന്‍സിപ്പിയയെ ലൈബ്‌നിസിയന്‍ കാല്‍ക്കുലസിന്റെ സങ്കേതങ്ങളുപയോഗിച്ച് പരിഷ്‌കരിക്കാന്‍ ശ്രമിച്ചതിന് ഒരു കാരണമിതാണ്. പ്രസിദ്ധീകരണം വൈകാനുള്ള കാരണം, തന്റെ ഫ്‌ളക്‌സണറി കാല്‍ക്കുലസിന്റെ യുക്തിഭദ്രതയില്‍ ന്യൂട്ടനു തന്നെ വിശ്വാസമില്ലായിരുന്നു എന്നതാണ്.
കാല്‍ക്കുലസിലെ 'ഡെറിവേറ്റീവ്' (derivative)നെ ന്യൂട്ടന് 'ഫ്‌ളക്‌സന്‍' (Fluxon) എന്നു വിളിച്ചു. ഒരു വസ്തുവിന്റെ മാറ്റ നിരക്കിനെയാണ് ഫ്‌ളക്‌സന്‍ സൂചിപ്പിക്കുന്നത്. വസ്തു എന്നത് മൂര്‍ത്ത ഭൗതികവസ്തു മാത്രമല്ല. അകലം/സ്ഥാനം (distance/position) പ്രവേഗം (velocity - rate of change of position), ത്വരണം (rate of change of velocity) എന്നിവയുടെ മാറ്റനിരക്ക് കണ്ടെത്താനാണ് ന്യൂട്ടന്, ഫ്‌ളക്‌സണറി കാല്‍ക്കുലസ്' ആവിഷ്‌കരിച്ചത്. മാറുന്ന വസ്തു (quantity changing)വിനെ 'ഫ്‌ളുവന്റ്' (fluent) എന്നു പറയുന്നു. x,y എന്നീ ഫ്‌ളൂവന്റുകളുടെ മാറ്റനിരക്കു (fluxions)കളെ ന്യൂട്ടന് എന്നും » എന്നും രേഖപ്പെടുത്തി. പക്ഷെ, ഇന്നു ലോകമെമ്പാടും സ്റ്റാന്‍ഡേര്‍ഡ് കാല്‍ക്കുലസായി അംഗീകരിക്കപ്പെട്ടിരിക്കുന്നത് ലൈബ്‌നിസ് ആവിഷ്‌കരിച്ച കാല്‍ക്കുലസാണ്. ന്യൂട്ടന്റെ കാല്‍ക്കുലസിനെക്കാള്‍ മെച്ചപ്പെട്ടത് പൈബ്‌നിസിന്റേതാണ് എന്നത് ഒരു വസ്തുതയാണ്.
പ്രിന്‍സിപ്പിയയ്ക്കു മുമ്പുള്ള കൃതികളില്‍ ജ്യാമിതീയ രീതി കാര്യമായി ഉപയോഗിച്ചിട്ടില്ല. 'On the Methods of Series and Fluxions'--ല്‍ ന്യൂട്ടന് എഴുതി: ''...I might at once widen the boundaries of the field of analysis and advances the doctrine of series''8 എന്നാല്‍, പ്രിന്‍സിപ്പിയയുടെ രചന ആരംഭിക്കുന്നതോടെ, 'calculus of fluxions'-നു പകരം 'geometry of fluxions' ഉപയോഗിക്കുകയും ആ രീതിയെ ന്യൂട്ടന് 'synthetic method of fluxions' എന്നു വിശേഷിപ്പിക്കുകയും ചെയ്തു. എന്താണ് കാരണം? അത് ന്യൂട്ടന് തന്നെ വ്യക്തമാക്കുന്നു. 1676 ജൂണ്‍ 6-ന് ഹെന്റി ഓള്‍ഡന്‍ബര്‍ഗിനയച്ച കത്തില്‍ ന്യൂട്ടന് എഴുതി: ''I have endeavored to express (my theories) in simple terms, avoiding the methods of indivisibles & infinite series, which are not universally accepted''9. പ്രിന്‍സിപ്പിയയുടെ അവതാരികയിലും ന്യൂട്ടന് ഇതു വ്യക്തമാക്കിയിരുന്നു: ''I have used the method of synthesis, which is more ancient and more elegant, instead of the analysis of the indivisibles, which is more recent and more obscure''10. പ്രിന്‍സിപ്പിയയുടെ കാലത്ത്, ഒരു പുതിയ വിജ്ഞാനശാഖയെന്ന നിലയ്ക്ക് കാല്‍ക്കുലസ് സവര്‍വസമ്മതമായിരുന്നില്ല. യൂക്ലിഡിയന്‍ ജ്യാമിതിയാകട്ടെ സര്‍വസമ്മതവും ആധികാരികവുമായിരുന്നു. കാല്‍ക്കുലസ് ഉപയോഗിച്ചാല്‍, നിരാകരിക്കപ്പെടുമെന്ന ഭീതിയാണ് പ്രിന്‍സിപ്പിയയില്‍ ജ്യാമിതീയരീതി പിന്തുടരാന്‍ ന്യൂട്ടനെ പ്രേരിപ്പിച്ചത്.
എന്നാല്‍ പ്രിന്‍സിപ്പിയയിലാവിഷ്‌ക്കരിക്കുന്ന സിദ്ധാന്തങ്ങളിലധികവും കണ്ടെത്തിയത് ഫ്‌ളക്‌സണറി കാല്‍ക്കുലസിലൂടെയാണെന്നും ന്യൂട്ടന് പറഞ്ഞിട്ടുണ്ട്. 1714-ല്‍ അജ്ഞാതനാമത്തില്‍ ന്യൂട്ടന് എഴുതി: ''By the help of this new Analysis, Mr. Newton found out most of the Propositions in his Principia Philosophiae. But because the ancients for making things certain admitted nothing into Geometry before it was demonstrated synthetically, he demonstrated the propositions synthetically that the systeme of the havens might be founded upon good Geometry. And this makes it now difficult for unskillful men to see the Analysis by which those propositions were found out ''11 താന്‍ ആവിഷ്‌കരിച്ച ഫ്‌ളക്‌സണറി കാല്‍ക്കുലസിലൂടെ കണ്ടെത്തിയ സിദ്ധാന്തങ്ങള്‍, അതിന്റെ തന്നെ സാങ്കേതിക ഭാഷയിലൂടെ ആവിഷ്‌കരിക്കാന്‍ കഴിഞ്ഞില്ല എന്നതായിരുന്നു ന്യൂട്ടന് നേരിട്ട വിഷമസന്ധി. പകരം ജ്യാമിതീയ ഭാഷയെ ആശ്രയിക്കേണ്ടിവന്നു. ന്യൂട്ടനും ചുരുക്കം ചില സുഹൃത്തുക്കള്‍ക്കും മാത്രമെ ഇതറിയുമായിരുന്നുള്ളു. പ്രിന്‍സിപ്പിയയില്‍ ഇക്കാര്യം സൂചിപ്പിച്ചിട്ടുമില്ല. പില്‍ക്കാലത്ത് പുറത്തു വന്ന ന്യൂട്ടന്റെ കത്തുകളെങ്കിലും വായിച്ചിരുന്നെങ്കില്‍ വിജയകുമാര്‍ ന്യൂട്ടനെക്കുറിച്ച് 'വസ്തുതകള്‍ക്കു നിരക്കാത്തതും അങ്ങേയറ്റം ചരിത്രവിരുദ്ധവുമായ' പ്രസ്താവനകള്‍ നടത്തില്ലായിരുന്നു. ന്യൂട്ടന് പഠനം മറ്റേതൊരു വിജ്ഞാന ശാഖയും പോലെ ഇന്നൊരു വലിയ ഗവേഷണമേഖലയാണ്. ന്യൂട്ടനെ പോലെ ഒരാളെക്കുറിച്ച് കടുത്ത പ്രസ്താവനകള്‍ നടത്തുന്നതിനുമുമ്പ്, ഒന്നു പരിശോധിച്ചുറപ്പാക്കുന്നത് ബൗദ്ധിക പ്രവര്‍ത്തനത്തിന്റെ മിനിമം ഉത്തരവാദിത്വമാണ്!
References
1. Eugine Wigner, 'The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences', (Communication on Pure and Applied Mathematics, Vol. XIII, 001-14, 1960)
2. രാമവര്‍മ്മതമ്പുരാന്‍, എ.ആര്‍. അഖിലേശ്വരയ്യര്‍ - യുക്തി ഭാഷ, മംഗളോദയം പ്രസ്, തൃശിവപേരൂര്‍, 1950
3. David Hilbert, Proceedings of the Mathematical Seminar of the University of Hamburg, Vol. 157, 1922
4. Cited in Jagdish Mehra. The Physicist's Conception of Nature, 1978.
5. ബുദ്ധിവിലാസിനി, ആമുഖം, ശ്ലോകങ്ങള്‍ 4-5
6. Siddhanta Siromani, ed. by Muralidhara Chaturveda, Varanasi, 1981, p.30
7. George Gheevarghese Joseph, The Crest of the Peacock, 1991, p.250
8. D.T. Whiteside, ed. The Mathematical Papers of Issac Newton, Cambridge Uni. Press, 8 Vols. 1967-1981, (vol. 3, p. 333)
9. The Correspondence of Issac Newton, Vol. 2, ed. H.W. Turnbull, Cambride Uni. Press, 1960, p.110
10. Principia, ed and trans. by Alexander Koyre and I.B. Cohen, Cambridge Uni. Press, 1972, p. XV
11. D.T. Whiteside, ed. Mathematical Papers of Issac Newton, Vol. 8, pp. 598-99
